ISBN 9783843906838

978-3-8439-0683-8, Reihe Mathematik

Matthias Waldherr
Arithmetic and Asymptotic Properties of Mock Theta Functions and Mock Jacobi Forms

160 Seiten, Dissertation Universität Köln (2012), Softcover, A5

Zusammenfassung / Abstract

Diese Dissertation behandelt zwei Themen.

Im ersten Teil betrachten wir arithmetische Eigenschaften von zwei sogenannten Mock Theta Funktionen omega und C. Aus Ergebnissen von Bringmann und Ono ist bereits bekannt, dass die Fourierkoeffizienten von Mock Theta Funktionen Kongruenzen einer speziellen Form genügen sollten: Zu fast jeder Primzahl p gibt es eine arithmetische Progression (in der Tat sogar unendlich viele unterschiedliche), so dass alle Fourierkoeffizienten die mit dieser Progression indiziert sind, kongruent zu 0 modulo p sind. Für omega wurde dies von Garthwaite und Penniston gezeigt und ein ähnliches Resultat sollte auch für C gelten. Der Beweis, dass es solche Kongruenzen gibt, ist aber nicht konstruktiv. In dieser Arbeit geben wir die ersten expliziten Beispiele für Kongruenzen von omega und C.

Im zweiten Teil untersuchen wir das asymptotische Verhalten von sogenannten Momenten gewisser Statistiken aus der Theorie der Partitionen. Bringmann, Mahlburg und Rhoades haben dieses asymptotische Verhalten für die Momente der klassischen "rank"-Statistik, sowie der "crank"-Statistik untersucht. Später hat Garvan entdeckt, dass diese Statistiken als Spezialfall einer verallgemeinerten Statistik mit Parameter T sind. Der Fall T=1 entspricht dabei der "crank"-Statistik und der Fall T=3 der "rank"-Statistik. In dieser Arbeit erweitern wir die Ergebnisse von Bringmann, Mahlburg und Rhoades über das asymptotische Verhalten der Momente der "T-rank"-Statistik auf alle Fälle T>24 und zeigen auch wie man die analogen Aussagen für beliebiges ungerades T erhalten kann.